截距求法向量（截距法求法向量原理）

一个平面和x轴y轴z轴的截距分别是ABC,那么这个平面的法向量是?

它在x轴、y轴、z轴的截距分别是5/3，-5/4和5。点法式：一般形式为a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)，其中(a，b，c)为其平面的法向量，(a，b，c)，为平面所经过的一点。由于平面经过的点为无数，所以次方程的点法式不唯一。

额…你先熟悉下法向量的定义哈…法向量规定了方向，隐含着它的长度即单位长度。所以任意向量的模都是共线法向量模的实数倍。

截距式 设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，若D不等于0，取a=-D/A，b=-D/B，c=-D/C，则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1 它与三坐标轴的交点分别为P(a，0，0)，Q(0，b，0)，R(0，0，c)，其中，a，b，c依次称为该平面在x，y，z轴上的截距。

曲面切平面在坐标轴上的截距如何求?

1、截距可以通过将切平面与坐标轴相交得出。在三维空间中，一个切平面可以通过其与坐标轴的交点来确定。对于一个与xx轴、yy轴和zz轴的交点分别为（a，0，0）（a，0，0）、（0，b，0）（0，b，0）和（0，0，c）（0，0，c）的平面，它的截距分别为aa、bb和cc。

2、平面的截距式方程：Ax+By+Cz+D=0。截距式是直线或平面的一种表示形式，是指用直线或平面在坐标轴上的截距来写出的直线或平面的表达式。其中直线的截距式为x/a+y/b=1（a≠0且b≠0）。其中a指横截距，b指纵截距。即与x轴交点是A(a，0)，与y轴交点是B(0，b) 。

3、在曲面27xyz=4上求切平面，使它在三个坐标轴上的截距相等 解：设F(x，y，z)=27xyz-4=0，M(x，y，z)是该曲面上的一点。

4、在切平面方程中，令 y=z=0，解出 x 就是在 x 轴上的截距，其他同理。

5、y=1/2√y0，Fz=1/2√z0，故切平面方程为 (x-x0)/√x0+(y-y0)/√y0+(z-z0)/√z0=0，令y=z=0，求出这平面和x轴交点的坐标x=x0+√x0(√y0+√z0)=√x0*√a，同理y=√y0*√a，z=√z0*√a，所以切平面在三个坐标轴截距之和=x+y+z=√a(√x0+√y0+√z0)=a。

6、常用直线向上方向与 X 轴正向的 夹角（ 叫直线的倾斜角 ）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。

如何求出平面的法向量?

1、待定系数法：设平面法向量为 n=（x，y，z），在平面内找出两个不共线的向量族族 a 和 b，根据法向量的定义，有 n·a=0 和 n·b=0，解这个方程组，得到 x，y，z 的值，即可得到一个平面法向量。

2、建立恰当的直角坐标系 设平面法向量n=（x，y，z）在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2， a3） b=（b1，b2，b3）根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0 解方程组，取其中一组解即可。

3、平面法向量的求法是通过已知的平面上的一个点和一个非零向量来确定的。

4、直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。待定系数法：建立空间直角坐标系。①设平面的法向量为n=（x，y，z）。②在平面内找两个不共线的向量a和b。③建立方程组：n点乘a=0，n点乘b=0。④解方程组，取其中的一组解即可。

5、平面法向量的具体步骤：（待定系数法）建立恰当的直角坐标系 设平面法向量n=（x，y，z）在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2， a3） b=（b1，b2，b3）根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0 解方程组，取其中一组解即可。

6、求平面的法向量可以通过平面上的两个非共线的向量来确定。设平面上有两个非共线向量a和b，可以通过计算向量a和向量b的叉乘来得到平面的法向量。具体步骤如下： 计算向量a和向量b的叉乘，得到向量c。c = a × b 向量c即为平面的法向量。

法向量求解方法总结

1、直接求解法：对于给定的平面方程Ax+By+Cz+D=0，其法向量为(A，B，C)。这种方法简单直观，但只适用于平面的情况。利用点和法向量的关系：对于一个点P(x0，y0，z0)和一个平面的法向量n=(A，B，C)，有n·(P-Q)=0，其中Q是平面上的一个已知点。

2、求法向量的方法：建立恰当的直角坐标系。设平面法向量n=（x，y，z）。在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2， a3） b=（b1，b2，b3）。根据法向量的定义建立方程组：①n·a=0；②n·b=0 解方程组，取其中一组解即可。

3、利用平面方程：如果已知平面的方程，如Ax + By + Cz + D = 0，那么该平面的法向量就是(A， B， C)。这是因为平面方程的系数就是法向量的分量。利用两个向量的叉积：如果有两个向量u和v在同一平面上，那么它们的叉积u x v就是这个平面的法向量。

4、基于向量叉乘的方法：向量又乘是一种常用的求解法向量的方法。对于一个平面上的三个点A、B、C，可以通过求解向量AB和向量AC的又乘得到法向量。具体地，设向量AB为向量a，向量AC为向量b，则法向量n三a，b。该方法简单易懂，适用于二维和三维空间中的平面和曲面。

5、利用向量运算：在求解法向量时，可以利用向量的运算规律，如平行四边形定律、三角形定律等。这些规律可以帮助我们快速求解法向量。例如，对于一个平面上的任意两个不共线的向量，可以利用平行四边形定律找到它们的法向量。而对于一个平面上的任意三个向量，可以利用三角形定律找到它们的法向量。

6、法向量是与给定曲线、曲面或几何体相切且垂直的向量。它在数学和物理中具有重要的应用。以下是根据不同情况求解法向量的方法：平面的法向量：已知平面的法向量：如果已知平面的法向量，那么法向量就直接给出了。